6.1.06

El experimento de los dos tonos

Veíamos ayer que para notas suficientemente cortas, no podemos saber con precisión su frecuencia (tono). Hoy haremos un nuevo experimento de dualidad tiempo-frecuencia, para seguir jugando con nuestra incertidumbre musical.

Si nos colocamos en un punto concreto del espacio (por ejemplo, nuestro oído) podemos detectar las variaciones de la presión del aire (x) en función del tiempo (t). Para un tono puro de frecuencia f, esta variación toma la forma:

x = A sen(2πft) (I)

Para f = 440 Hz escuchamos la nota musical LA, como vimos en el post anterior. La amplitud A está relacionada con la intensidad con la que escuchamos la nota. Como es una constante (no varía con el tiempo), la nota siempre tiene la misma intensidad.

Nuestro oído es capaz, además, de distinguir varios tonos reproducidos simultáneamente. Por ejemplo, algo de la forma:

x = A [ sen(2π f1 t) + sen(2π f2 t) ] (II)

Así, la suma de los tonos LA y DO (a 440 y 523 Hz respectivamente) suena así.

Ahora imaginemos algo un poco más difícil. En vez de tomar una amplitud constante A, hacemos que varíe con el tiempo. Por ejemplo, que varíe periódicamente con una frecuencia de un segundo. Una nota LA con una amplitud variable tendría la forma:

x = cos(2π f1 t) · sen(2π f2 t) (III)

Donde es f1 1 Hz (un ciclo cada segundo) y f2 es 440 Hz. Suena así. (He usado un coseno en lugar de un seno para que los desarrollos matemáticos posteriores queden más bonitos).

Llegados a este punto, notamos algo curioso: una variación de la presión del aire de la forma "sen(2π f t)" la podemos percibir de dos formas: como variación de la intensidad o como un tono. Además, si recordamos un poco de trigonometría, sabremos que podemos convertir la ecuación (II) en una parecida a la (III), ya que:

sen(2π f1 t) + sen(2π f2 t) = 2 cos(2π [f1 - f2]/2 t) · sen(2π [f1 + f2]/2 t) (IV)

Es decir, que sumar dos tonos de 440 y 523 Hz es lo mismo que multiplicar un tono de 481.5 Hz por otro de 41.5 Hz. Y multiplicar un tono de 440 Hz por otro de 1 Hz es lo mismo que sumar dos tonos de 439 y 441 Hz.

Ahora supongamos que somos un inteligente diseñador(*) que se dispone a construir un oído. Tenemos las siguientes especificaciones:
  • Nuestro maravilloso oído tiene que ser detectar variaciones de intensidad que sucedan una vez por segundo (es decir, detectar en qué instante del tiempo suceden los máximos y los mínimos de intensidad). Pues ya sabemos así, de entrada, que nuestro oído no va a saber diferenciar entre un tono de 439 Hz y uno de 441 Hz. Si los oímos a la vez, no escucharemos dos tonos distintos, sino un único LA cuya intensidad varía con el tiempo.
  • Nuestro oído tiene que ser capaz de distinguir entre un LA 440 y un DO 523 (incluso tocados a la vez). Pues ya sabemos que no va a ser capaz de seguir variaciones en el tiempo de 42 ciclos por segundo o más rápidas. Es decir, que por debajo de los 20 milisegundos, nada de nada.
Es decir, que si queremos que el oído sea muy fino ante las variaciones de frecuencia, responderá lentamente en el tiempo. Y, al contrario, si queremos ser muy sensibles a las variaciones temporales, distinguiremos mal el tono. Es matemáticamente imposible que sea de otra manera.

Es importante notar que nada nos impide obtener el valor de la presión sonora en cada instante de tiempo. Es decir: tenemos a nuestra disposición toda la información posible sobre la señal de sonido. Lo que sucede es que, sencillamente, no podemos decir el tono exacto del sonido en un instante de tiempo, ni tampoco en qué momento concreto un sonido pasa a tener una frecuencia determinada.

El problema de la incertidumbre es, pues, un problema matemático.

(*) No confundir con Diseñador Inteligente, que es otra cosa.

3 comentarios:

Remo dijo...

Genial. Muy didáctico y entretenido.

Hairanakh dijo...

Gracias :$

Julio dijo...

Si, muy bueno. Realmente, la indeterminación es un "efecto colateral" de la transformada de Fourier. Todo aquello que se pueda describir por esta herramienta, (desde sonido a la mecánica cuántica)sufrirá de éste fenómeno.