2.2.06

El principio de incertidumbre en matemáticas

Después de dar un paseo por las implicaciones musicales del principio de incertidumbre, vamos a la parte más árida de todo este asunto: las matemáticas. Como este es un artículo de divulgación y, además, hecho por un ingeniero, espero que nadie se escandalice por la falta de rigor en lo que voy a contar después. Recordemos: estoy contando un cuento con algunas ideas matemáticas.

I. La Transformada de Fourier
Es el momento de mencionar a nuestro nunca suficientemente admirado Jean-Baptiste-Joseph Fourier. Este matemático y físico francés, que viajó con los ejércitos de Napoleón, es conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonometricas convergentes llamadas Series de Fourier.

¿Qué significa eso? Tomemos una señal periódica: por ejemplo, un LA tocado con un violín (suponiendo que la nota sea muy estable). Si vemos la forma de onda, es algo así:
Hay un "patrón" (el período fundamental) que se repite constantemente (concretamente, 440 veces por segundo). Pues bien, esta señal periódica puede descomponerse como la suma de infinitas señales sinusoidales (senos) cuya frecuencia sea múltiplo de 440 Hz. La frecuencia de la señal original (440 Hz) se denomina fundamental y sus múltiplos, armónicos. La estructura de estos armónicos (su amplitud y su fase con respecto al fundamental) determina el timbre del sonido (si hablamos de sonido, claro; la descomposición vale para cualquier función periódica).

A medida que el período fundamental es cada vez más grande, la frecuencia fundamental es cada vez más pequeña (y, por tanto, los armónicos están más "cerca" entre sí). Imaginemos una señal se repite cada 10 segundos. Tendría armónicos en 0.1, 0.2, 0.3... Hz. Si se repite cada 1000 segundos tendría 1000 armónicos por cada herzio. Imaginemos ahora que hacemos el período infinito. Entonces los armónicos estarían infinitamente juntos; es decir, tendríamos un componente para cada valor posible de frecuencia.

Una señal períodica de período infinito es, sencillamente, una señal que no es periódica. Y, en efecto, una señal aperiódica tiene componentes en todas las frecuencias. La forma de calcular estas componentes es la Transformada de Fourier.

II. Propiedades de la Transformada de Fourier
  1. Dada una señal x(t) podemos calcular, unívocamente, su Transformada de Fourier X(f) y viceversa.
  2. Para una señal periódica ideal (periódica para cualquier valor de t) su TF sólo toma valores para f múltiplo de la frecuencia fundamental.
  3. Una señal periódica real tiene duración limitada. Su TF tomará valores para f en un entorno de la frecuencia fundamental y sus múltiplos. El tamaño de este entorno será mayor cuanto menor sea la duración de la señal.
  4. Más y mejor sobre la FT, aquí. Por si alguien quiere verlo un poco más formalmente.

La transformada de Fourier nos permite dar valores cuantitativos a estos entornos, tamaños y demás.

III. Principio de Incertidumbre
Trataremos de enunciar ahora el principio de incertidumbre. Para ello consideramos el siguiente par de señales:


La de la izquierda es una señal en el tiempo (la denominaremos, "pulso gaussiano") y la de la derecha, su transformada de Fourier.

El pulso gaussiano es un caso particular de lo que hemos llamado antes "señal periódica real". Podemos observar que tiene un período (de 1 Hz), pero es limitada en el tiempo. Concretamente, es el producto de multiplicar una tono puro de 1 Hz por una señal envolvente, con forma de campana de Gauss. La anchura del pulso viene determinada por la anchura (duración) de su envolvente, que podemos asimilar a la desviación estándar de la campana (σ, dos segundos, a ojo).

La transformada de Fourier del pulso es una función:

  • Centrada en 1 Hz (la frecuencia del tono).
  • Con forma gaussiana (la forma es la de la TF de la envolvente y la TF de una gaussiana es, ¡sorpresa!, otra gaussiana). La desviación típica es la inversa de la de la envolvente. Es decir Σ =1 /σ = 0.5 Hz.

Si hemos sido capaces de llegar hasta aquí, ya tenemos enunciado el principio de incertidumbre:

  • El pulso gaussiano es una señal que está localizada en el instante t=0, con una indeterminación de 2 segundos (la anchura del pulso). Y tiene una frecuencia de 1 Hz, con una indeterminación de 0.5 Hz (la anchura de la transformada). Por tanto, hay una indeterminación en el instante en que se produce el pulso y en su frecuencia, que cumple la siguiente ecuación:

Σ · σ >= 1

Es decir, que para dos variables relacionadas por la transformada de Fourier (como el tiempo y la frecuencia) y una función localizada tanto en el tiempo como en la frecuencia (como el pulso gaussiano), hay siempre unos márgenes (anchuras) de localización de esa señal, que cumplen

Δt·Δf >= 1

Y eso, damas y caballeros, es lo que se conoce como Principio de Incertidumbre.

NOTA: Sospecho que me ha salido un poco espeso para los posibles lectores profanos en esto de Fourier. Pero... bueno, la vida es así de dura a veces. En el fondo estamos vistiendo con un poco de matemáticas lo que ya hemos dicho en pocas palabras: para calcular una frecuencia necesitamos siempre un intervalo en el que medirla.

5 comentarios:

Ktulu dijo...

Es interesante que nos hagas recordar estas cosas... así me acuerdo de los tiempos de clase con el Monedero! y sus frases: "Te atreves con las paramétricas???" Me estoy planteando hacer algún post didáctico... ¿Qué te parece los modos propios en acústica arquitéctonica? ... (o quizás la impedancia del tímpano, jajaja) Ahora en serio, muy bueno tu artículo

Berlin Smith dijo...

Querido: vente a mi nave espacial:

http://nochesconfusas.blogspot.com/2006/02/memeces.html

Lucas dijo...

nunca dejaras de sorprenderme...

Eugenio dijo...

Muy interesante. Pero creo que sería bueno saber qué implicaciones tiene esto del principio de incertidumbre fuera de las matemáticas.

Andrea Quintanilla dijo...

Oye sé que es una entrada antigua, pero soy estudiante de ingeniería eléctrica y entiendo este post. Un gran saludo desde otra geek! www.miscelanealuminosa.blogspot.com